Инженерная геология, буровые работы  
 

| на главную | к оглавлению |

Кручение бруса с круглым поперечным сечением



Оригинальные тексты для сайтов и веб-проектов. Копирайт, рерайт, переводы.
Профессиональное наполнение вебсайтов уникальным контентом и новостями.
Оптимизированные тематичные тексты и фото по низкой стоимости. Надёжно.


Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т.е. Nz Qx Qy Mx My   равны нулю.

        Для крутящего момента, независимо от формы поперечного се­чения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент Mz  направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

        При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две основные задачи. Во-первых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, во-вторых, надо найти угловые перемеще­ния сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

        Наиболее просто можно получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, зало­женное в основу теории кручения, носит название гипотезы плоских сечений.

Рис. 4.1

        Для построения эпюры крутящих моментов Mz  применим традиционный метод сечений - на расстоянии z от начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов SMz  = 0, получим:

Mz = M.                                                             (4.1)

        Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сделать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала -крутящий момент Mz  в данном случае постоянен по всей длине бруса.

        Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и r + dr выделим элементарное кольцо, показанное на рис. 4.1, в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол dj. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол g и займет положение АВ ¢. Дуга  ¢ равна с одной стороны, r dj, а с другой стороны - g dz. Следовательно,

.                                                      (4.2)

        Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и развернуть (рис. 4.1, г), то можно видеть, что угол g представляет собой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверхности под действием касательных напряжений t, вызванных действием крутящего момента. Обозначая

,                                                         (4.3)

где Q - относительный угол закручивания. Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина Q аналогична относительному удлинению при простом растяжении или сжатии стержня.

        Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:

g = r Q.                                                             (4.4)

        Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:

t = G Q r,                                                         (4.5)

где t - касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Пар­ные им напряжения возникают в продольных плоскостях - в осевых сечениях.              Величину крутящего момента Mz можно определить через t с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от дей­ствия касательных напряжений t на элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):

dM = t r dF.


Рис 4.2

        Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:

.                  (4.6)

        Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:

        .               (4.7)

        Откуда

                .                          (4.8)

        Величина G Ir называется жесткостью бруса при кручении.

        Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:

         .                                            (4.9)

        Если крутящий момент Mz и жесткость G Ir по длине бруса пос­тоянны, то из (4.9) получим:

,                                          (4.10)

где j (0) - угол закручивания сечения в начале системы отсчета.

        Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него q, согласно (4.8), получим:

       t (r)=.                                                   (4.11)

        Величина  называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом  R. Определяется эта величина из следующих соображений:

                                (4.12)

        Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость ра­диусом r = , то для кольца

            ,                        (4.13)

где с = .

 


 
 

© 2007-2017 pppa.ru - все права защищены
При цитировании материалов и статей обратная ссылка строго обязательна


Качественное и надёжное обслуживание (ведение, администрирование) вебсайтов,
интернет-магазинов, витрин, блогов, форумов и других web проектов недорого.
Полное администрирование сайтов, включая наполнение контентом и продвижение.