Инженерная геология, буровые работы  
 

| на главную | к оглавлению |

Определение перемещений методом Мора



Оригинальные тексты для сайтов и веб-проектов. Копирайт, рерайт, переводы.
Профессиональное наполнение вебсайтов уникальным контентом и новостями.
Оптимизированные тематичные тексты и фото по низкой стоимости. Надёжно.


Суть метод Мора в следующем. Если необходимо определить перемещение в заданной точке по заданному направлению, то наряду с заданной системой внешних сил в этой точке прикладывается внешнее усилие Ф = 1 в интересующим нас направлении.

        Далее составляется выражение потенциальной энергии систе­мы, состоящей из n участков с учетом одновременного действия заданной системы внешних сил и силы Ф :

                (6.1)

,

где Кх , Ку - безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечения и учитывают неравномерность распределения касательных напряжений в сечении при поперечном изгибе. Так, например, для прямоугольника Кх Ку = 1,2, а для двутавра при изгибе в плоскости его стенки K = F/FCT , где F - площадь всего сечения двутавра, FCT - площадь стенки; Nz , Qx  , Qy  , Mz , Mx , My  - внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях заданной стержневой системы; -внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях заданной системы, от действия усилия Ф = 1.

        Дифференцируя выражение (6.1) по Ф, и полагая после этого Ф = 0, находим искомое перемещение в искомой точке в нужном направлении.

.            (6.2)

        Полученные интегралы называются интегралами Мора и широко применяются при вычислении перемещений стержневых систем.

        Для систем, элементы которых работают на растяжение или сжатие (например, шарнирно-стержневые системы - фермы), в формуле Мора (6.2) отличен от нуля будет только слагаемое, содер­жащее продольные силы. При расчете балок или рамных систем, работающих в основном на изгиб, влияние поперечной и продольной силы на перемещение несущественно и в большинстве случаев их влияние не учитывается. В случае пространственной работы стержня или стержневой системы, элементы которой работают, в основном, на изгиб и кручение, в формуле Мора обычно ограничиваются рассмотрением слагаемых, содержащих изгибающие и крутящие моменты.

        Подробно рассмотрим случай, когда брус работает только на изгиб (Mx ¹ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0). В этой ситуации выражение (6.2) принимает вид:

.                                                              (6.3)

        Согласно (6.3) для определения перемещения произвольной точки в произвольном направлении, последовательно необходимо выполнять следующее:

        1. Построить эпюру моментов Мx  от заданной системы внешних сил;

        2. Исключая внешние силы и в точке, где необходимо определить перемещение по заданному направлению, прикладывается единичное усилие (сила - если требуется определить линейное пе­ремещение; момент - если требуется определить угловое перемещение), и от действия единичного усилия строится эпюра моментов ;

        3. По формуле Мора (6.3) вычисляется искомое перемещение.


Рис 6.6

        Если принять E I = const, то перемещение в некоторой точке стержня определяется как интеграл от произведения двух функций моментов - Мx и . В общем виде инте­грал Мора можно выразить следующей формулой:

.   (6.4)

        Часто встречаются случаи, когда на участке стержня дли­ной l необходимо вычислить интеграл Мора при условии, что по крайней мере одна из функций - линейная (рис. 6.6). Пусть f2 = b + k z, тогда из (6.4) получим :

                 (6.5)

 

где W1 - площадь эпюры f1 ; f2 (zC- ордината линейной эпюры под центром тяжести криволинейной эпюры (рис. 6.6).

        Приведенное решение носит имя русского ученого Верещагина, впервые его получившего. Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования выражения (6.4) в случае линейности хотя бы одной из подынтегральных функций существенно упрощается и сводится к перемножению площади криволинейной эпюры на ординату второй (линейной) функции под центром тяжести криволинейной.

        Используя способ Верещагина, приведем результаты вычисления интегралов Мора для двух наиболее часто встречающихся случаев:

        1. Обе функции f1  и f2 - линейные (рис. 6.7), тогда

;                                               (6.6)

        2. Функция f1 - квадратная парабола, f2 - линейная функция (рис. 6.8). Такая ситуация встречается, когда на участке длиной l приложена равномерно распределенная нагрузка q, тогда

,                                                          (6.7)

где f - “стрелка” квадратной параболы (рис. 6.8), .


 

        В общем случае, если площадь W эпюры моментов имеет слож­ную геометрию и представляется возможным ее разбить на площади Wk (k = 1,2,3,...), имеющие элементарную геометрию, то интеграл Мора I от произведения эпюры W на эпюру моментов M, может быть представлен в виде:

.                              (6.8)

        Для расчета усилий в статически неопределимых стержневых системах существуют различные методы. Здесь рассмотрим метод сил.


 
 

© 2007-2017 pppa.ru - все права защищены
При цитировании материалов и статей обратная ссылка строго обязательна


Качественное и надёжное обслуживание (ведение, администрирование) вебсайтов,
интернет-магазинов, витрин, блогов, форумов и других web проектов недорого.
Полное администрирование сайтов, включая наполнение контентом и продвижение.