Инженерная геология, буровые работы  
 

| на главную | к оглавлению |

Колебания системы с одной степенью свободы



Оригинальные тексты для сайтов и веб-проектов. Копирайт, рерайт, переводы.
Профессиональное наполнение вебсайтов уникальным контентом и новостями.
Оптимизированные тематичные тексты и фото по низкой стоимости. Надёжно.


Рассмотрим систему, изображенную на рис. 8.2. Пренебрегая массой и продольными деформациями консольного бруса, рассмотрим колебания массы m, закрепленной на свободном конце бруса, при действии силы Р (t), изменяющейся по гармоничному закону по времени t :

Р (t) = Р0×sin w t,


Рис 8.2

где Р0 - амплитуда или максимальное значение силы Р (t), а w -круговая частота ее изменения.

  При составлении уравнения движения массы m введем в рассмотрение силу инерции PИН =-m, силу сопротивления РC=-a, всегда направленную против движения системы (где a -коэффициент затухания) и внешнюю силу Р (t). Перемещение y (t) в любой момент времени можно определить из уравнения:

.                             (8.2)

где d11 - перемещение массы m по вертикали под действием верти­кальной единичной силы.

        Отметим, что природа сил сопротивления может быть результатом сопротивления внешней среды или внутреннего трения, возникающего в частицах материала конструкции при деформации системы. Принимаем обозначения:

,                                      (8.3)

где j - частота собственных колебаний конструкции, n - коэффициент затухания. Тогда уравнения движения (8.2) принимает следующий вид:

.                            (8.4)

        Решение (8.4) при начальных условиях t = 0, y = y0, , с учетом n < j, принимает вид:

.                               (8.5)

        Здесь приняты следующие обозначения:

 - амплитуда собственных колебаний системы;

 - собственная частота колебаний системы с учетом сил затухания; - сдвиг фазы по времени, возникающий при собственных и вынужденных колебаниях, соответственно;

                                  (8.6)

 

- называется коэффициентом динамичности, он показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического перемещения, вызванного максимальным значением возмущающей статической силы.

        График b в зависимости от отношения частот и параметра затухания n приведен на рис. 8.3. Откуда следует, что при w ® j Р0×d11×b, т.е. амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает, а при ® 0, w ® j, получаем Р0×d11×b ® ¥. Это явление носит название резонанса. При n = 0 выражение для b упрощается и принимает вид:

.

        При больших t первое слагаемое из (8.5), описывающее свобод­ные колебания системы, затухает и колебания системы описываются выражением:

.                                 (8.7)

        Заметим, что решение (8.5) при нулевых начальных условиях (), при любых значениях t описывается выражением (8.7).

        При выполнении практических расчетов, при известном коэф­фициент b, легко определяется величина максимальных динамических напряжений и перемещений в упругих элементах заданной системы:

sДИН = sСТ × byДИН = yСТ × b;

yДИН = P0 × d11× b; yCT P0 × d11,

где под sСТ, yCT понимается то напряжение и перемещение соответственно, которые возникали бы в системе при статическом приложении максимального значения возмущающей силы величиной P0.

Рис. 8.3

        В случае, если сопоставление частот w и j указывает на их опасную близость w » j, т.е. опасность возникновения резонанса, путем конструктивных мероприятий добиваются изменения той или иной частоты. При этом, наиболее целесообразным является изменение частот в сторону увеличения отношения  с тем условием, чтобы добиться наиболее заметного снижения коэффициента b.


 
 

© 2007-2017 pppa.ru - все права защищены
При цитировании материалов и статей обратная ссылка строго обязательна


Качественное и надёжное обслуживание (ведение, администрирование) вебсайтов,
интернет-магазинов, витрин, блогов, форумов и других web проектов недорого.
Полное администрирование сайтов, включая наполнение контентом и продвижение.