Инженерная геология, буровые работы  
 

| на главную | к оглавлению |

Плоская задача в декартовых координатах



Интернет-магазин детских товаров и игрушек "Лига детства"
Подарите незабываемый праздник и море радости ребенку - с душой, улыбкой и удовольствием!
Качественные, безопасные, красивые, оригинальные детские товары и игрушки с доставкой!


На практике различают два вида плоской задачи - плоскую деформацию и обобщенное плоское напряженное состояние.

        В случае плоской деформации линейные деформации вдоль од­ной из координатных осей, например, оси z отсутствуют, а напряжения имеются ezz = 0; szz ¹ 0. Примером плоской деформации может служить деформация длинной стенки постоянного сечения, в случаях когда внешние нагрузки расположены в плоскостях, перпендикулярных оси z, где ось z направлена вдоль стенки.

        Примером обобщенного плоского напряженного состояния может служить напряженно-деформированное состояние тонкой пластины, в случае, когда внешние нагрузки приложены по ее контуру и равномерно распределены по толщине пластины рис. 10.5.

Рис. 10.5

        Расположим начало системы координат x, y, z в серединной плоскости пластины, а ось z направим перпендикулярно к ней, тогда будем иметь: ezz ¹ 0;  szz = 0.

        Плоская задача теории упругости, как и объемная задача, может быть решена как в перемещениях, так и в напряжениях.

        Здесь рассмотрим решение плоской задачи обобщенного напряженного состояния в напряжениях допуская, что объемной силой является собственный вес, постоянный для всех точек тела. Пусть gy - вес единицы объема тела. В данном случае искомыми величинами являются следующие три компонента вектора напря­жений sxx , syy , txy . Предполагая, что szz = 0 и все производные по оси z равны нулю, основные уравнения теории упругости значительно упростятся и примут вид:

     уравнения равновесия

                                       (10.27)

       

         уравнения неразрывности деформации

;                                (10.28)

        физические уравнения, т.е. закон Гука:

                                     (10.29)

 

 

        В результате совместного рассмотрения этих выражений получим:

Ñ2 (sxx + syy ) = 0,                                                       (10.30)

где  - оператор Лапласа.

        Следовательно, решение краевой задачи теории упругости в напряжениях, в случае обобщенного плоского напряженного состояния, упрощается и сводится к решению уравнения (10.30) с учетом граничных условий, заданных на контуре тела:

,

где  v  - внешняя нормаль к площадке; X, Y - компоненты полного напряжения на границе по осям x и y.

        Решение плоской задачи теории упругости значительно упрощаются с использованием функции напряжений Эри j (xy), выбранной таким образом, чтобы уравнения равновесия (10.27) превращались бы в тождества, т.е.:

.       (10.31)

        Подставляя первые два выражения (10.31) в (10.30) получим:

.                                               (10.32)

        Таким образом, решение плоской задачи в напряжениях сво­дится к решению уравнения (10.32) с учетом заданных в напряжениях граничных условий.


 
 

© 2007-2016 pppa.ru - все права защищены
При цитировании материалов и статей обратная ссылка строго обязательна


Детские игрушки: машинки и конструкторы, куклы и кукольные домики, развивающие игры и удивительные наборы. Тысяча наименований.
Интернет-магазин "Лига детства" - это качество и отличный сервис. Весь товар сертифицирован. Оперативная доставка.