Инженерная геология, буровые работы  
 

| на главную | к оглавлению |

Теория тонких пластин



Интернет-магазин детских товаров и игрушек "Лига детства"
Подарите незабываемый праздник и море радости ребенку - с душой, улыбкой и удовольствием!
Качественные, безопасные, красивые, оригинальные детские товары и игрушки с доставкой!


Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого, называемое толщиной, значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равностоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности. Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной (рис. 11.1.).

Рис. 11.1

        Предполагаем, что на поверхности пластины действует распределенная нагрузка интенсивностью q = q (x, y). Для вывода дифференциального уравнения изогнутой поверхности пластинки выделим из ее состава бесконечно малый элемент с размерами dx, dy, h, где h - толщина пластины. Выделенный элемент с указанными внутренними усилиями изображен на рис. 11.2. Определим внутренние усилия в пластине следующим образом.


Рис 11.2

        Для этого отметим характерную для пластин особенность обозначения изгибающих моментов отличны от тех, что приняты в балках, а именно: Мx - изгибающий момент на площадке с нормалью параллельной оси x; аналогично, Мy - изгибающий момент на площадке с нормалью параллельной оси y; Мxy - крутящий момент относительно оси x, действующий в плоскости параллельной оси y; Мyx - крутящий момент относительно оси y, действующий в плоскости параллельной оси x (см. рис. 10.2). Различие между Qx и Qy состоит в том, что интегрирование ведется по площадке с нормалью параллельной оси x, в первом случае, и по площадке с нормалью параллельной оси y во втором. С учетом изложенного выражения усилий записываются в следующем виде:

;

 

        Проецируя все силы, приложен­ные к элементу пластинки на вертикальную ось z, из условия равновесия получим:

,

откуда

                                                    (11.1)

        Далее, составляя условия равновесия в форме суммы моментов относительно координатных осей x и y, и пренебрегая малыми величинами второго порядка, получим:

                                                   (11.2)

       

        Подставляя выражения Qx и Qy из (11.2) в (11.1), получим:

.                           (11.3)

        Очевидно, что для определения трех величин Мx , Мy и Мxy од­ного уравнения (11.3) недостаточно. Для решения задачи необходимо выразить моменты через прогибы пластинки. С этой целью для тонких пластинок вводится следующие допущения:

        1. Отрезок нормали к срединной поверхности при изгибе ос­тается прямым и перпендикулярным к срединной поверхности. Это допущение носит название гипотезы прямых нормалей.

        2. Величины sz и ez пренебрежимо малы и в расчете не учитываются.

        Поскольку, мы предположили, что ez = 0, то

ez = ,

следовательно, прогиб пластины w не зависит от координаты z, то есть w = w (x, y).

        Пользуясь сделанными предположениями, выразим перемещение точек пластины вдоль осей x и y, соответственно, u и v через их прогиб w.

        Согласно рис. 11.3. можно записать:

.                                                   (11.4)


Рис 11.3

        Нормаль к срединной поверхности пластинки (C - C) согласно гипотезе прямых нормалей и в деформируемом состоянии пластинки  оста­ется перпендикулярной к искривленной поверхности. Аналогичным образом получим:

.        (11.5)

        Закон Гука в данном случае преобразуется к виду:

        (11.6)

       

       Выражения для изгибающих моментов с учетом (11.6) принимают вид:

                     (11.7)

где  - цилиндрическая жесткость пластины.

        Пользуясь соотношениями (11.2) и (11.7), выражения для попе­речных сил можно записать следующим образом:

                                                              (11.8)

где - оператор Лапласа.

        Согласно (11.7) величины моментов определяются через один искомый параметр - прогиб пластины w (xy). Следовательно, подставляя выражение (11.7) в (11.3), окончательно получим

.                                  (11.9)

        Выражение (11.9) - известное дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины, полученное Софи Жермен и опубликованное Лагранжом в 1811 году.


 
 

© 2007-2016 pppa.ru - все права защищены
При цитировании материалов и статей обратная ссылка строго обязательна


Детские игрушки: машинки и конструкторы, куклы и кукольные домики, развивающие игры и удивительные наборы. Тысяча наименований.
Интернет-магазин "Лига детства" - это качество и отличный сервис. Весь товар сертифицирован. Оперативная доставка.