Инженерная геология, буровые работы  
 

| на главную | к оглавлению |

Прочность толстостенной цилиндрической оболочки при действии внутреннего и внешнего давлений



Оригинальные тексты для сайтов и веб-проектов. Копирайт, рерайт, переводы.
Профессиональное наполнение вебсайтов уникальным контентом и новостями.
Оптимизированные тематичные тексты и фото по низкой стоимости. Надёжно.


Рассмотрим однородное тело цилиндрической формы в цилиндрической системе координат r, j, z (рис. 11.6, а) при действии внутреннего pa и внешнего давления pb , которые являются осе­симметричными нагрузками и вдоль оси z являются постоянными величинами (рис. 11.6, б).

        Радиальное перемещение произвольно взятой точки обозначим через u. Величина u в данном случае является функцией только от текущего радиуса r.

Рис. 11.6

        Обозначим er и ej относительное удлинение в цилиндре в радиальном и окружном направлении и выразим их через перемещение u. Рассмотрим элементарный отрезок АВ = dr, выделенный в радиальном направлении до и после нагружения цилиндра (рис. 11.7, а). Для определения ej достаточно рассмотрения рис. 11.7, б.

Рис. 11.7

        С учетом принятых обозначений и формы деформирования цилиндра получим:

.                             (11.18)

        Для изучения напряженного состояния выделим из цилиндра элемент в форме криволинейного шестигранника (рис. 11.8). В осевых сечениях цилиндра из условий симметрии касательные напряжения отсутствуют и сохраняются только нормальные окружные напряжения sj .

Рис. 11.8

        Поскольку в поперечных и радиальных сечениях касательные напряжения также отсутствуют, следовательно, площадки в поперечном, радиальном и тангенциальном направлениях являются главными площадками, а напряжения sz , sr , sj  являются главными напряжениями.

        Проецируя силы, действующие на выделенный элемент (рис. 11.8), на радиальное направление, получим следующее условие равновесия:

,

откуда

.                                                (11.19)

        Остальные уравнения равновесия для элемента выполняются тождественно.

        Закон Гука в данном случае принимает вид:

         (11.20)

Деформация по направлению z отсутствует, из предположения, что цилиндр бесконечно длинный, т.е. ez = 0

        Выражение напряжений в осевом направлении определяется самостоятельно, если учесть, что в поперечных сечениях цилиндра с площадью  действует продольная сила:

Nz = -(pв D - pa d 2).

Следовательно,

.                                     (11.21)

        Из (11.20) с учетом (11.18) выражения для напряжений sj  и sr  принимают вид:

                            (11.22)

        Тогда уравнение равновесия (11.19) с учетом (11.22) примет окончательный вид:

.                                           (11.23)

        Решение (11.23) записывается в виде:

,                                                     (11.24)

где с1 и с2 - постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий задачи:

при         .                          (11.25)

        Подставляя выражение u из (11.24) в выражение sr  из (11.22) с учетом граничных условий (11.25) получим:

                       (11.26)

        В результате совместного рассмотрения (11.22), (11.24) и (11.26) выражения для напряжения примут окончательный вид:

                       (11.27)

       

Рассмотрим случай нагружения цилиндра только внутренним давлением, тогда принимая pв = 0, из (11.21) и (11.27) получим:

;

;                                        (11.28)

.

        Анализ выражений (11.28) показывает, что sj > sz > sr Следовательно sj = s1; sz = s2; sr = s3 . Выражение интенсивности напряжения в данном случае принимает вид:

.

Из (11.28), учитывая, что

.                                                              (11.28¢)

получим

.                                           (11.29)

        Предположим, что цилиндр изготовлен из неупрочняющегося материала для которого условие пластичности выражается в следующем виде:

si = sT ,                                                                     (11.30)

где sT - предел текучести материала цилиндра.

        Подставляя (11.29) в (11.30) получим условия пластичности для данного случая:

sj - sr  = 2 K,                                                         (11.31)

где .

        Из анализа выражений напряжений (11.28) следует вывод, что наибольшее значение напряжение sj принимает при r = d/2, т.е. на внутренней границе цилиндра. Следовательно, по мере увеличе­ния внутреннего давления в пластическое состояние будут сначала переходить внутренние, а затем и более близкие к внешней границе слои материала.

        Для определения значения давления, при котором слои на внутренней границе цилиндра, т.е. при r = d/2, переходят в пластическое состояние, воспользуемся условием пластичности (11.31), подставляя в него выражение напряжений из (11.28):

.                                        (11.32)

        По мере дальнейшего роста внутреннего давления зона пластичных деформаций от внутренней поверхности распространяется в сторону наружной поверхности.

        Для случая когда все поперечное сечение оболочки находится в пластическом состоянии рассматривается условие равновесия (11.18) и условие пластичности (11.31) и тогда:

.                                                        (11.33)

        Проинтегрировав последнее уравнение, получим:

.                                          (11.34)

        Постоянная интегрирования C определяется из граничных условий задачи:

r = D/2; sr = 0.                                                    (11.35)

Подставляя (11.34) в (11.35), определим: . Следователь­но, из (11.34) окончательно получим:

.                                                     (11.36)

Из условия пластичности (11.31) будем иметь

.                                            (11.37)

Выражение для sz принимает вид:

.                                            (11.38)

        Величину внутреннего давления, при действии которого вся оболочка переходит в пластическое состояние, обозначим pа = РПР и получим из граничных условий задачи при r = d/2 РПР = sr Следовательно, из (11.36) получим:

РПР = 2 K ln.


 
 

© 2007-2017 pppa.ru - все права защищены
При цитировании материалов и статей обратная ссылка строго обязательна


Качественное и надёжное обслуживание (ведение, администрирование) вебсайтов,
интернет-магазинов, витрин, блогов, форумов и других web проектов недорого.
Полное администрирование сайтов, включая наполнение контентом и продвижение.