Инженерная геология, буровые работы  
 

| на главную | к оглавлению |

Понятие статистического веса



Оригинальные тексты для сайтов и веб-проектов. Копирайт, рерайт, переводы.
Профессиональное наполнение вебсайтов уникальным контентом и новостями.
Оптимизированные тематичные тексты и фото по низкой стоимости. Надёжно.


Чтобы пояснить понятие статистического веса, рассмотрим способы, которыми молекулы газа могут распределяться между двумя половинами сосуда, в котором заключен газ. Пусть общее число молекул равно N. В качестве характеристики состояния газа примем число молекул, находящихся в левой половине сосуда, которое мы обозначим буквой n (соответственно число молекул в правой половине сосуда будет равно Nn). Состояние отдельной молекулы будем характеризовать указанием на то, в какой из половин сосуда она находится. Такое описание состояния газа и состояний отдельных молекул является, конечно, далеко не полным. Однако оно достаточно для того, чтобы выяснить на этом примере характерные особенности статистического поведения любых макросистем.

Начнем со случая, когда полное число молекул равно четырем (рис.).

 

 

 

 

Каждая молекула с равной вероятностью может находиться как в левой, так и в правой половине сосуда. Поэтому вероятность того, что, скажем, молекула 1 окажется в левой половине сосуда, равна 1/2. Пребывание в левой половине сосуда молекулы 1 и пребывание в той же половине сосуда молекулы 2 являются статистически независимыми событиями. Поэтому вероятность одновременного нахождения в левой части сосуда молекул 1 и 2 равна произведению вероятностей, т. е. (1/2)2. Продолжая эти рассуждения, получим, что вероятность одновременного нахождения в левой половине сосуда всех четырех молекул равна (1/2)4.

Аналогичные рассуждения дают, что вероятность любого размещения молекул в сосуде (скажем такого, при котором 1-я и 4-я молекулы будут находиться в левой половине сосуда, а 2-я и 3-я — в правой), также равна (1/2)4. Каждое из размещений представляет собой некоторое микросостояние газа. Из сказанного выше следует, что вероятность всех микросостояний одинакова и равна (1/2)4.

Таблица 1

Состояние

Способы реализации состояния

Число способов

число молекул слева

число молекул справа

№ молекул, находящихся слева

№ молекул, находящихся справа

реализации данного состояния (ω)

0

4

1, 2, 3, 4

1

1

3

1

2, 3, 4

 

 

 

2

1, 3, 4

 

 

 

3

1, 2, 4

4

 

 

4

1, 2, 3

 

2

2

1, 2

3, 4

 

 

 

1, 3

2, 4

 

 

 

1, 4

2, 3

6

 

 

2, 3

1, 4

 

 

 

2, 4

1, 3

 

 

 

3, 4

1, 2

 

3

1

1, 2, 3

4

 

 

 

1, 2, 4

3

4

 

 

1, 3, 4

2

 

 

 

2, 3, 4

1

 

4

0

1, 2, 3, 4

1

 

 

Всего способов

24 = 16

В табл. 1 приведены все мыслимые способы распределения молекул между половинами сосуда (все микросостояния газа). Состояние, характеризуемое тем, что, скажем, в левой части сосуда находится одна молекула (безразлично какая), а в правой части — три молекулы, представляет собой макросостояние. Из таблицы видно, что такому макросостоянию соответствует 4 микросостояния. Следовательно, статистический вес данного макросостояния равен 4, а вероятность (обычная, а не термодинамическая) равна 4/16. Макросостояние, при котором в обеих частях сосуда находится одинаковое число молекул, реализуется с помощью шести микросостояний. Соответственно его статистический вес равен 6, а вероятность (обычная) равна 6/16.

Из рассмотренного примера вытекает, что все микросостояния данной системы равновероятны, вследствие чего статистический вес оказывается пропорциональным вероятности (обычной) макросостояния. Утверждение о равновероятности всех микросостояний лежит в основе статистической физики и носит название эргодической гипотезы.

Согласно табл. в случае четырех молекул имеется большая вероятность (равная 1/8) того, что все молекулы соберутся в одной из половин сосуда (левой или правой). Однако с увеличением числа молекул положение существенно меняется.

Найдем число способов (число микросостояний), посредством которых может быть осуществлено макросостояние, характеризуемое тем, что в левой половине сосуда окажется n молекул из общего числа их N, а в правой половине — (Nn) молекул. Для этого пронумеруем молекулы, приписав им номера от 1 до N. Затем станем отбирать по одной молекуле и помещать их в левую половину сосуда. Первую молекулу можно выбрать N способами, вторую — (N—1) способом, третью — (N—2) способами, наконец, n-ю молекулу можно выбрать (Nn+1) способом. Оставшиеся (Nn) молекул поместим в правую половину сосуда.

В результате для статистического веса получается выражение

В табл. 2 приведены значения ω, вычисленные по формуле для случая N=24. Полное число способов распределения 24 молекул между двумя половинами сосуда равно 224=16 777 216, и только в двух случаях все молекулы оказываются сосредоточенными в одной из половин сосуда. Вероятность такого события равна примерно 10‑7. В четырех кубических сантиметрах воздуха содержится около 1020 молекул. Вероятность того, что все эти молекулы соберутся в одной из половин сосуда, равна двум, деленным на два в степени 1020, что составляет приблизительно . Эта вероятность настолько мала, что практически ее можно считать равной нулю.

Таблица 2

Число моле-

 

 

Число моле-

 

 

кул

ω

Вероят-

кул

ω

Вероят-

слева

справа

 

ность

слева

справа

 

ность

0

24

1

6∙10‑7

9

15

1 307 504

7,8∙10‑2

1

23

24

1,4∙10‑6

10

14

1 961 256

0,117

2

22

276

1,6∙10‑5

11

13

2 496 144

0,149

3

21

2024

1,2∙10‑4

12

12

2704156

0,161

4

20

10626

6, 3∙10‑4

13

11

2 496 144

0,149

5

19

42504

2,5∙10‑3

......

.......

 ..........

 ........

6

18

134596

8∙10‑3

23

1

24

1,4∙10‑6

7

17

346 104

2∙10‑2

24

0

1

6∙10‑7

8

16

735 471

4,4∙10‑2

 

 

 

 

Всего 224 = 16 777 216 способов

На рис. изображен график, показывающий, как меняется число молекул n в одной из половин сосуда с течением времени. Это число колеблется около среднего значения, равного N/2.

 

 

 

 


 
 

© 2007-2017 pppa.ru - все права защищены
При цитировании материалов и статей обратная ссылка строго обязательна


Качественное и надёжное обслуживание (ведение, администрирование) вебсайтов,
интернет-магазинов, витрин, блогов, форумов и других web проектов недорого.
Полное администрирование сайтов, включая наполнение контентом и продвижение.