Инженерная геология, буровые работы  
 

| на главную | к оглавлению |

Комплексные числа



Оригинальные тексты для сайтов и веб-проектов. Копирайт, рерайт, переводы.
Профессиональное наполнение вебсайтов уникальным контентом и новостями.
Оптимизированные тематичные тексты и фото по низкой стоимости. Надёжно.


Комплексным числом z называется число вида

z=x+iy,                                                            (1)

где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (i2=—1). Число x называется вещественной частью комплексного числа z. Символически это записывается в виде x=Rez. Число у называется мнимой частью z (записывается: y=lmz). Число

z*=xiy.                                                         (2)

называется комплексно сопряженным числу x+iy. Вещественному числу x можно сопоставить точку на оси x.

 

 

 

 

 

 

Комплексному числу z можно сопоставить точку на плоскости, имеющую координаты x, y (рис.). Каждая точка плоскости определяет некоторое комплексное число z. Следовательно, комплексное число можно задать с помощью декартовых координат x и y соответствующей точки. Однако то же самое число можно задать с помощью полярных координат ρ и φ. Между обеими парами координат имеются соотношения

x = ρcosφ,    y = ρsinφ,   ,   φ=arctg(y/x).                            (3)

Расстояние от начала координат до точки, изображающей число z, называется модулем комплексного числа (обозначается |z|). Очевидно, что

z=.

Число φ называют аргументом  комплексного числа z.

Приняв во внимание соотношения (3), можно представить комплексное число в тригонометрической форме:

z=ρ(cosφ+i sinφ).

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 считаются равными друг другу, если в отдельности равны их вещественные и мнимые части:

z1=z2, если x1=x2 и y1=y2.

Модули двух равных между собой комплексных чисел одинаковы, а аргументы могут отличаться лишь слагаемым, кратным 2π:

ρ1 = ρ2,   φ12±2.

Из выражений (1) и (2) видно, что в случае, когда z*=z, мнимая часть z есть нуль, т. е. число z оказывается чисто вещественным. Таким образом, условие вещественности числа z можно записать в виде

z* =z.

В математике доказывается соотношение

eiφ = соsφ +isinφ,                                                      (4)

которое называется формулой Эйлера. Заменив в этой формуле φ на —φ и учтя, что cos (—φ)=cosφ, a sin(‑φ) = sinφ, получим соотношение

eiφ = соsφ ‑ isinφ.                                                    (5)

Сложим выражения (4) и (5) и решим получившееся соотношение относительно cosφ. В результате имеем

соsφ = 1/2∙(eiφiφ).

Вычтя (5)  из (4), получим, что sinφ = (1/2i) (eiφeiφ).

С помощью формулы (4) комплексное число можно записать в показательной форме:

z = ρeiφ.

Комплексно сопряженное число в показательной форме имеет вид

z* = ρeiφ.

При сложении комплексных чисел складываются отдельно их вещественные и мнимые части:

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).

Перемножение комплексных чисел удобно осуществлять, беря эти числа в показательной форме:

z = z1z2 = ρ1eiφ1ρ2eiφ2 = ρ1ρ2ei1 + φ2)

Модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются:

ρ=ρ1∙ρ2,    φ=φ12.

Аналогично осуществляется деление комплексных чисел:

легко получить, что

zz* = ρ2.

(квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа на его комплексно сопряженное).


 
 

© 2007-2017 pppa.ru - все права защищены
При цитировании материалов и статей обратная ссылка строго обязательна


Качественное и надёжное обслуживание (ведение, администрирование) вебсайтов,
интернет-магазинов, витрин, блогов, форумов и других web проектов недорого.
Полное администрирование сайтов, включая наполнение контентом и продвижение.