Инженерная геология, буровые работы  
 

| на главную | к оглавлению |

Уравнение сферической волны



Интернет-магазин детских товаров и игрушек "Лига детства"
Подарите незабываемый праздник и море радости ребенку - с душой, улыбкой и удовольствием!
Качественные, безопасные, красивые, оригинальные детские товары и игрушки с доставкой!


Нетрудно написать уравнение сферической волны. Положение колеблющейся частицы определяется в этом случае только ее расстоянием от источника колебаний r, т.е. фаза колебаний должна иметь вид ωtkr + a. Амплитуда колебаний в сферической волне, однако, не будет оставаться постоянной — она убывает с расстоянием, как 1/r. Последнее утверждение вытекает из требования, чтобы поток энергии, переносимый волной через поверхность сферы любого, сколь угодно большого, радиуса оставался постоянным. Таким образом, сферическая волна должна иметь следующий вид:

u(r,t) = costkr + a),                                                       (3.54)

где a— постоянная величина, численно равная амплитуде волны на расстоянии от источника, равном единице длины.

 

 

 

 

 

 

 

Найдем уравнение плоской волны, бегущей в трехмерном пространстве вдоль произвольного направления n. Выберем систему координат и возьмем волновую поверхность волны, находящуюся на расстоянии l от начала координат (рис.). Это будет плоскость, перпендикулярная вектору n. Если волна в начале координат задана уравнением:

u(0,t) = u0×cost + a),                                                             

то колебания частиц на выбранной волновой поверхности будут иметь вид:

u(0,t) = u0×costkl + a).                                                       

Из рис. видно, что  = r×cosj = l , поэтому написанному выше уравнению можно придать вид:

u(,t) = u0×cost - k× + a).                                                        

Введем вектор

,                                                                   (3.55)

равный по величине волновому числу и направленный вдоль вектора n направления распространения волны. Величина  называется волновым вектором. С его помощью уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся в произвольном направлении n, приобретает вид:

u(,t)= u0cost + a).                                      (3.56)

Получим с помощью выражения (3.56) общий вид волнового уравнения, частным видом которого является (3.50). Колебания частиц в волне являются функцией четырех переменных — трех пространственных координат x, y, z и времени t. Продифференцируем выражение (3.56) по каждой из этих переменных дважды, пользуясь тем, что  = kx+ ky+ kz:

                                    

Складывая производные по координатам и выражая правую часть полученного выражения через производную по времени, находим:

.                                          

Наконец, заменяя ω/k на фазовую скорость волны (3.52), окончательно получаем:

.                                               (3.57)

Это и есть общий вид волнового уравнения, который был выведен исходя из того, что выражение (3.51) представляет собой плоскую волну. На самом деле класс решений уравнения (3.57) необычайно широк. Всякая функция, котораяудовлетворяет уравнению(5.57), описывает какую-либо волну. Например, решением этого уравнения является и сферическая волна (3.54). Волны могут быть и более сложной формы.

Частным случаем уравнения (3.57) является одномерная волна (3.50) – в этом случае колебания в волне не зависят от остальных координат.


 
 

© 2007-2016 pppa.ru - все права защищены
При цитировании материалов и статей обратная ссылка строго обязательна


Детские игрушки: машинки и конструкторы, куклы и кукольные домики, развивающие игры и удивительные наборы. Тысяча наименований.
Интернет-магазин "Лига детства" - это качество и отличный сервис. Весь товар сертифицирован. Оперативная доставка.